Понедельник
05.12.2016
01:21
Категории каталога
для открытия файлов [3]
для уроков по информатике [14]
другие [5]
Форма входа
Поиск
Статистика посещений
Нижний Новгород Online
Проголосуй за наш сайт

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Сопутствующие сайты
Наши сайты: Наши странички на других сайтах: Наши соседи:
Наш опрос
Что заставляет вас учиться?
Всего ответов: 1373
Мини-чат
200
Моим ученикам
Главная » Файлы » программы » для уроков по информатике

Системы счисления
[ Скачать с сервера (3.13Mb) ] 03.12.2009, 04:52
"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел.  В любом  случае число изображается  символом  или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
2.2.1. Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая,  единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.
Запустить программу Системы счисления
Ввести команду [Системы-Единичная].
В появившемся диалоговом окне Единичная система  ознакомиться с содержанием текстовых окон История системы и Сущность системы, а в окне Калькулятор набрать какое-либо число.
Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления. Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.
В непозиционных системах счисления количественный эквивалент  каждой  цифры не зависит  от ее положения (места, позиции) в записи числа.
Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.
Ввести команду [Системы-Древнеегипетская].
В появившемся диалоговом окне Древнеегипетская система ознакомиться с содержанием текстовых окон История системы и Сущность системы, а в окне Калькулятор набрать  число, например, 3252.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая  сохранилась  до  наших  дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).          Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).         Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к  его  значению,  а  каждый меньший знак,  поставленный слева от большего, вычитается из него.         Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.         Десятичное число 99 имеет следующее представление: XCIХ = -10+100-1+10.
Запустить программу NumLock Calculator.
Ввести команду [Формат результата-Римский].
В окне ввода данных ввести число, например, 99, и нажать клавишу со знаком «=». Появится результат, число, записанное в римской системе счисления.
Римскими цифрами  пользовались  очень долго.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система  счисления сегодня используется,  в основном,  для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.         Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.         В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например a = 1, b = 2, g = 3  и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв (i = 10, k = 20, l = 30, m = 40  и т.д.),  а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв (r = 100, s = 200, t = 300 и т.д.). Например, число 141 обозначалось rma.
У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу. Подробнее с происхождением и развитием русской письменности можно ознакомиться на сайте «История русской письменности».
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.         Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.
2.2.2. Позиционные системы счисления
        Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.         Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.         Возможно множество позиционных систем,  так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).
В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.             В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).             В позиционной системе счисления любое  вещественное  число  в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)
Здесь А — само число, q — основание системы счисления, ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n — число целых разрядов числа, m — число дробных разрядов числа.         Свернутой формой записи числа называется запись в виде
A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.        
Пример 2.7. Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:
А10=4·103+7·102+1·101+8·100+6·10-1+3·10-2
Пример 2.8. Двоичная система счисления.        
В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид:
А2= ± (an-12n-1+an-22n-2+...+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m)
Здесь аi — возможные цифры (0, 1).         Итак, двоичное  число  представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно  большое  число  разрядов.  Быстрый рост  числа  разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.         Записав двоичное число
А2=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
А2=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1 = 8+1+0,5 = 9,510
Пример 2.9. Восьмеричная система счисления. Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Записав восьмеричное число А8=7764,1  в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
А8=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510
Пример 2.10.  Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое  обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита. Таким образом, запись 3А
F16 означает:
3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310
Пример 2.11. Запишем начало натурального ряда чисел в  десятичной  и  двоичной системах счисления:

А10

А2

А10

А2

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

10

11

100

101

110

111

8

9

10

11

12

13

14

15

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

 


Задания для самостоятельного выполнения

Категория: для уроков по информатике | Добавил: mychildren
Просмотров: 4327 | Загрузок: 739 | Рейтинг: 2.0/1 |
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]